ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 30604
Темы:    [ Деление с остатком ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сколько существует натуральных чисел n, меньших 10000, для которых  2nn²  делится на 7?


Решение

Остатки от деления 2n на 7 повторяются с периодом 3:  2, 4, 1. Остатки от деления n² на 7 повторяются с периодом 7:  1, 4, 2, 2, 4, 1, 0. Поэтому делимость на 7 зависит только от остатка при делении n на 21. Рассмотрим все случаи (в первой строке таблицы – остатки от деления на 21, в следующих двух – остатки от деления на 7).

Мы видим 6 случаев совпадений (когда n ≡ 2, 4, 5, 6, 10, 15 (mod 21)).  10000 = 476·21 + 4.  Поэтому количество "подходящих" чисел равно  476·6 + 2 = 2858.


Ответ

2858 чисел.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: "АСА"
Издание 1
глава
Номер 10
Название Делимость-2
Тема Теория чисел. Делимость
задача
Номер 018

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .