Задача 30617

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Докажите, что любое натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю
  а) 3;   б) 9.

Решение

  Рассмотрим число  a₁a₂...a_n = 10^n–1a₁ + 10^n–2a₂ + ... + 10¹a_n–1 + a_n.  Ясно, что  10 ≡ 1 (mod 9).  Поэтому 10^k ≡ 1 (mod 9).  для любого натурального k. Таким образом,  10^n–1a₁ + 10^n–2a₂ + ... + 10a_n–1 + a_n ≡ a₁ + a₂ + ... + a_n–1 + a_n (mod 9).
  Рассуждения для числа 3 совершенно аналогичны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	031