Задача 30626

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 100 раз. Докажите, что в результате получится нуль.

Решение

После первого вычитания получается число, кратное 9. Поэтому на каждом следующем шаге (пока не получился 0) вычитается не меньше 9. Следовательно, для чисел, меньших  99·9 + 9 = 900  всё доказано. Для чисел от 900 до 999 чисел заметим, что среди 33 кратных 9 трёхзначных чисел, начинающихся с цифр 6, 7, 8, только девять имеют сумму цифр 9, а о остальные 24 имеют сумму цифр 18. Таким образом, не менее 12 раз вычиталось не 9, а 18.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	040