Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков    (повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток.
Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.

   Решение

---

В полдень минутная и часовая стрелка совпали. Когда они совпадут в следующий раз?

   Решение

---

Докажите, что если записать в обратном порядке цифры любого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.

   Решение

---

В треугольнике ABC на стороне AB выбраны точки K и L так, что AK = BL, а на стороне BC — точки M и N так, что CN = BM. Докажите, что KN + LM ≥ AC.

   Решение

---

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.

   Решение

---

Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁. Точки A₂, B₂ и C₂ взяты на прямых BC, CA и AB так, что  (PA₂, BC) = (PB₂, CA) = (PC₂, AB). Докажите, что  A₂B₂C₂ A₁B₁C₁.

   Решение

---

Доказать, что если  a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ a₁₀,  то   ¹/₆ (a₁ + ... + a₆) ≤ ¹/₁₀ (a₁ + ... + a₁₀).

   Решение

---

В неравнобедреном треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, I' – центр окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон CB и CA; L и L' – точки, в которых сторона AB касается этих окружностей.
Докажите, что прямые IL', I'L и высота CH треугольника ABC пересекаются в одной точке.

   Решение

Тема:    [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, делящееся на (в записи 100 троек).

Решение

Запись этого числа состоит из 300 единиц.

Источники и прецеденты использования