Задача 30650

Тема:    [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Решите в целых числах уравнение  1990x – 173y = 11.

Решение

  Как видно из задачи 60514 достаточно найти частное решение.

  Первый способ. Сначала с помощью алгоритма Евклида найдем решение уравнения  1990x – 173y = 1  (см. задачу 60488), а потом умножим результаты на 11.

  Второй способ.  1990 = 11·173 + 87,  поэтому уравнение можно записать в виде  173z + 87x = 11,  где  z = 11x – y.  173 = 2·87 – 1,  поэтому  87t – z = 11,  где
t = 2z + x.
  Положив  t₀ = 0,  получим  z₀ = –11,  x₀ = t₀ – 2z₀ = 22,  y₀ = 11x₀ – z₀ = 253.

Ответ

(22 + 173k, 253 + 1990k),  k ∈ Z.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	064