Задача 30665

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Решить в целых числах уравнение  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c = 1.

Решение

  Если  a = 1,  то  c = – b.
  Пусть ни одно из чисел не равно 1. Тогда каждое из слагаемых не больше ½. Отсюда сразу следует, что ни одно из чисел не может быть отрицательным. Поэтому можно считать, что  1 < a ≤ b ≤ c  (остальные решения получатся перестановкой).
  Если  a > 3,  то  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c < ¹/₃ + ¹/₃ + ¹/₃ = 1.
  Поэтому возможны только два случая:
  1)  a = 3  (и тогда, очевидно,  b = c = 3);
  2)  a = 2.  В этом случае  ¹/_b + ¹/_c = ½.  При этом  b ≤ 4.
  Поэтому либо  b = 4  (и тогда  c = 4),  либо  b = 3  (и тогда  c = 6).

Ответ

(3, 3, 3),  {2, 3, 6},  {2, 4, 4},  {1, t, – t},  где t – любое целое число.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	079