Задача 30667

Тема:    [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что уравнение  ¹/_x – ¹/_y = ¹/_n  имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда n – простое число.

Решение

  Если  n = pq  (p, q > 1),  то  ¹/_n = ¹/_n–1 – ¹/_n(n–1)  и  ¹/_n = ¹/_p(q–1) – ¹/_pq(q–1).
  Если же n – простое, то  n(y – x) = xy,  и значит, xy делится на n. Поскольку  x < n,  y делится на n:  y = kn.  Тогда  x = ^kn/_k+1,  откуда  k = n – 1,  то есть имеется ровно одно решение:  (n – 1, n(n – 1)).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	081
web-сайт
задача