Задача 30669

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

Условие

Решите в натуральных числах уравнение  x² + y² = z².

Решение

  Сначала разберём случай, когда числа x и y взаимно просты. Оба эти числа не могут быть чётными в силу предположения о взаимной простоте. Они не могут быть и нечётными: сумма квадратов двух нечётных чисел даёт остаток 2 при делении на 4 и поэтому не может быть квадратом.
  Далее будем считать, что x нечётно, а y чётно. Тогда z нечётно.
  Запишем уравнение в виде  x² = (z – y)(z + y).  Числа  u = z – y  и  v = z + y  нечётны и взаимно просты. Действительно, если они имеют общий делитель
d > 1,  то на d делятся и числа  u + v = 2z  и  u – v = 2y.  Поскольку d нечётно, z и y также делятся на d. Поэтому и x² делится на d, что противоречит взаимной простоте чисел x и y.
  Следовательно, u и v – полные квадраты:  u = m²,  v = n²,  где m и n – нечётные взаимно простые числа. Отсюда  x = mn,  y = ½ (m² – n²),  z = ½ (m² + n²).

  Общее решение получается из этого перестановкой x и y и умножением всех переменных на произвольное натуральное число.

Ответ

{x, y} = {mnk, ½ k(m² – n²)},  z = ½ k(m² + n²),  где m, n – взаимно простые нечётные натуральные числа,  m > n,  k – произвольное натуральное число.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	083