|
|
 |
Условие
Решите уравнение x² – 5y² = 1 в целых числах.
Решение
Достаточно решить уравнение в неотрицательных целых числах, а потом произвольно расставить знаки. Далее рассматриваются только такие решения.
Заметим, что (x, y) – решение тогда и только тогда, когда (x + y )(x – y
) = 1. Отсюда следует, что если (x, y) и (u, v) – решения и
s + t = (x + y
)(u + v
), то (s, t) – тоже решение. Действительно, s – t
= (x – y
)(u – v
), поэтому (s + t
)(s – t
) = 1.
Два частных решения (1, 0) и (9, 4). Отсюда мы получаем серию решений (xn, yn), где xn + yn = (9 + 4
)n. Докажем, что других решений нет.
Заметим, что если (x, y) и (u, v) – решения и x < u, то и y < v.
Пусть (u, v) – решение, отличное от уже найденных. При этом (9 + 4 )n < u + v
< (9 + 4
)n+1 при некотором n. Тогда (s, t), где
s + t = (u + v
)(9 – 4
)n – тоже решение, причём 1 < s + t
< 9 + 4
. Значит, 1 < s < 9. Но непосредственная проверка показывает, что решений, удовлетворяющих этому условию, нет. Противоречие.
Ответ
± (xn, ± yn), где xn + yn = (9 + 4
)n, n = 0, 1, 2, 3, ...
Замечания
См. также книгу В.О. Бугаенко "Уравнения Пелля".
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. |
| Год издания | 1994 |
| Название | Ленинградские математические кружки |
| Издательство | Киров: "АСА" |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 10 |
| Название | Делимость-2 |
| Тема | Теория чисел. Делимость |
| задача | |
| Номер | 084 |
