ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 30681
Тема:    [ Малая теорема Ферма ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что
  а)  pq + qp ≡ p + q (mod pq);

  б)   – чётное число, если  p, q ≠ 2.


Подсказка

Докажите, что  pq + qp – p – q  делится и на p, и на q.


Решение

а) По малой теореме Ферма  pq ≡ p (mod q),  qp ≡ q (mod p).  Следовательно,  pq + qp – p – q  делится и на p, и на q.

б)  p + q < pq,  поэтому     Числитель полученной дроби чётен, а знаменатель нет, следовательно, частное чётно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: "АСА"
Издание 1
глава
Номер 10
Название Делимость-2
Тема Теория чисел. Делимость
задача
Номер 095

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .