Задача 30682

Темы:    [ Малая теорема Ферма ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Пусть p – простое число, и a не делится на p. Докажите, что найдется натуральное число b, для которого  ab ≡ 1 (mod p).

Решение 1

a·a^p–2 = a^p–1 ≡ 1 (mod p).

Решение 2

Числа 0, a, 2a, ...,  (p – 1)a  при делении на p дают разные остатки:  ia – ja = (i – j)a  не делится на p, поскольку  |i – j| < p.  Следовательно, эти остатки принимают все возможные значения, в том числе и 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	096