Задача 30751

Темы:    [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора.
Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?

Решение

Занумеруем сектора по кругу числами от 1 до 6 и для любой расстановки фишек рассмотрим сумму S номеров секторов, в которых стоят данные нам шесть фишек (с учётом кратности). Очевидно, что при сдвиге фишки в соседний сектор соответствующее ей слагаемое в сумме S меняет чётность. Значит, если сдвигаются одновременно две фишки, то чётность величины S не меняется. Для начальной расстановки  S = 21.  Если же все фишки находятся в одном секторе с номером А, то  S = 6А  – это чётное число.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	12
Название	Инвариант
Тема	Инварианты
задача
Номер	002