ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 30751
Темы:    [ Инварианты ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора.
Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?


Решение

Занумеруем сектора по кругу числами от 1 до 6 и для любой расстановки фишек рассмотрим сумму S номеров секторов, в которых стоят данные нам шесть фишек (с учётом кратности). Очевидно, что при сдвиге фишки в соседний сектор соответствующее ей слагаемое в сумме S меняет чётность. Значит, если сдвигаются одновременно две фишки, то чётность величины S не меняется. Для начальной расстановки  S = 21.  Если же все фишки находятся в одном секторе с номером А, то  S = 6А  – это чётное число.


Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: "АСА"
Издание 1
глава
Номер 12
Название Инвариант
Тема Инварианты
задача
Номер 002

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .