Задача 30842

Темы:    [ Средние величины ] [ Троичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Докажите, что из набора 0, 1, 2, ...,  3^k – 1  можно выбрать 2^k чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.

Решение

Будем считать, что троичная запись каждого из данных чисел состоит ровно из k цифр (при необходимости заполним пустующие старшие разряды нулями). Выберем те числа, троичная запись которых содержит только цифры 0 и 1. Их ровно 2^k. Покажем, что это и есть искомый набор. Предположим противное: среди выбранных чисел есть три различных числа x, y, z, удовлетворяющих равенству  x + y = 2z.  Так как числа x и y различаются хотя бы в одном разряде, то в троичной записи их суммы  x + y  в этом разряде стоит цифра 1. Однако в записи числа 2z встречаются только 0 и 2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	15
Название	Системы счисления
Тема	Системы счисления
задача
Номер	011