Задача 30869

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство  a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c).

Решение

Воспользуемся неравенством  x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx  (см. задачу 30865):
    a⁴ + b⁴ + c⁴ = (a²)² + (b²)² + (c²)² ≥ a²b² + b²c² + c²a² = (ab)² + (bc)² + (ca)² ≥ (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab) = abc(a + b + c).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	16
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	026
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	1
Название	Различные неравенства
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.025