ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 30869
Темы:    [ Неравенство Коши ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство  a4 + b4 + c4abc(a + b + c).


Решение

Воспользуемся неравенством  x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx  (см. задачу 30865):
    a4 + b4 + c4 = (a²)² + (b²)² + (c²)² ≥ a²b² + b²c² + c²a² = (ab)² + (bc)² + (ca)² ≥ (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab) = abc(a + b + c).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: "АСА"
Издание 1
глава
Номер 16
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер 026
книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 1
Название Различные неравенства
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.025

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .