Задача 30880

Тема:    [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Условие

Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?

Решение

x² + y² ≤ (x + y)² = 100.  Это значение достигается при  x = 10,  y = 0.
2(x² + y²) = (x + y)² + (x – y)² ≥ 100.  Это значение достигается при  x = y = 5.

Ответ

Максимальное значение равно 100, минимальное – 50.

Замечания

Можно также воспользоваться неравенством между средним квадратичным и средним арифметическим.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	16
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	037