Задача 30899

Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9 Название задачи: Неравенство Бернулли.

Условие

x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что   (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

Решение 1

Докажем неравенство индукцией по n.

База. При  n = 1  неравенство превращается в равенство.

Шаг индукции. Пусть уже доказано, что   (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.   Тогда   (1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx² ≥ 1 + (n + 1)x.

Решение 2

Пусть  a > 1.  Рассмотрим функцию  f(x) = (1 + x)^a – ax – 1,  определенную при x > –1.  Ее производная  f'(x) = a(1 + x)^a–1 – a = a((1 + x)^a–1 – 1)  положительна при  x > 0  и отрицательна при  –1 < x < 0.  Следовательно,  f(x) ≥ f(0) = 0  на всей области определения.

Замечания

1. Неравенство превращается в равенство не только при  n = 1,  но и при  x = 0 . В остальных случаях оно строгое.

2. При  x ≥ 0  (такое ограничение дано в источнике) неравенство Бернулли сразу следует из формулы бинома:   (1 + x)ⁿ = 1 + nx + ... .

3. Из решения 2 видно, что неравенство верно и при нецелых  n > 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	16
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	056
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	1
Название	Метод математической индукции
Тема	Индукция
параграф
Номер	2
Название	Тождества, неравенства и делимость
Тема	Индукция (прочее)
задача
Номер	01.032