Задача 30928

Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

Условие

Докажите, что если  x + y + z ≥ xyz,  то  x² + y² + z² ≥ xyz.

Решение

 Если среди данных трёх чисел одно или три неположительных, то утверждение очевидно. Если неположительных два, то
|x| + |y| + |z| ≥ x + y + z ≥ xyz = |xyz|.  Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда все числа положительны.
  Можно считать, что  x ≥ y ≥ z.  Тогда  3x ≥ x + y + z ≥ xyz,  значит,  yz ≤ 3,  откуда  z < 2.  Следовательно,  x² + y² + z² > x² + y² ≥ 2xy > xyz.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	16
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	085