|
|
 |
Условие
Решить в целых числах уравнение x² + y² + z² = 4(xy + yz + zx).
Решение
Уравнение однородно: если (x0, y0, z0) – решение, то (tx0, ty0, tz0) – тоже решение (t – произвольное целое число). Поэтому достаточно найти ненулевые решения, в которых неизвестные взаимно просты в совокупности, а остальные решения получатся из них домножением на t. Но таких решений уравнение не имеет. Действительно, правая часть чётна (даже кратна 4), поэтому в левой части должно быть чётное число нечётных слагаемых. Но они должны быть (иначе все неизвестные чётны, а мы рассматриваем случай без общих делителей). Поэтому нечётных неизвестных ровно 2. Но сумма двух нечётных и одного чётного квадратов не делится на 4.
Следовательно, уравнение не имеет ненулевых решений.
Ответ
(0, 0, 0).
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Иванов С.В. |
| Название | Математический кружок |
| глава | |
| Номер | 12 |
| Название | Уравнения в целых числах |
| Тема | Уравнения в целых числах |
| задача | |
| Номер | 19 |
