Задача 31292

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 6,7,8

Условие

Решить в целых числах уравнение  x² + y² + z² = 2xyz.

Решение

  Если есть ненулевое решение этого уравнения в целых числах, то есть и решение в натуральных числах. Докажем, что решений в натуральных числах нет.
  Пусть это не так. Тогда рассмотрим наименьшее натуральное число a, для которого найдутся такие натуральные b, c, n, что  a² + b² + c² = 2ⁿabc.  Заметим, что все слагаемые в левой части чётны (иначе левая часть не делится на 4, а правая делится). Подставляя  a = 2u,  b = 2v,  c = 2w  получаем
4(u² + v² + w²) = 2ⁿ⁺³uvw,  или  u² + v² + w² = 2ⁿ⁺¹uvw.  Поскольку  u < a,  это противоречит выбору числа a.

Ответ

(0, 0, 0).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	12
Название	Уравнения в целых числах
Тема	Уравнения в целых числах
задача
Номер	20