Из полного 100-вершинного графа выкинули 98 рёбер. Доказать, что он остался связным.

   Решение

В соревновании участвуют 32 боксёра. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 15 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

   Решение

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  n² + p  (p – простое).

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  n² + p  (p – простое).

Подсказка

Таковы почти все точные квадраты.

Решение

Рассмотрим нечётное составное число  m = 2k – 1.  Тогда k² не представимо в виде  n² + p.  Действительно, из равенства  k² = n² + p  следует, что
 p = (k – n)(k + n).  Если  k – n > 1,  то p – составное. Если же  k – n = 1,  то  p = k + n = 2k – 1  – тоже составное.

Источники и прецеденты использования