Задача 31308

Тема:    [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Условие

a – фиксированное натуральное число. Доказать, что уравнение  x! = y² + a²  имеет лишь конечное число решений в натуральных числах.

Решение

При  x ≥ a² + 4   x!,  а значит, и y² делится на a², то есть  y = ka.  Тогда  (a² – 1)!(a² + 1)...(a² + 4)...x = 1 + k².  Но левая часть делится на 4, а правая – не делится. Значит, x может принимать только конечное число значений.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	12
Название	Уравнения в целых числах
Тема	Уравнения в целых числах
задача
Номер	36