Задача 31371

Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение   [^x/₁₀] = [^x/₁₁] + 1?

Решение

Пусть  x = 11n + r,  где  n ≥ 0,  0 ≤ r ≤ 10.  Тогда  [^x/₁₁] = n,  n + 1 = [^x/₁₀] = n + [^n+r/₁₀],  то есть  10 ≤ n + r < 20,  10 – r ≤ n ≤ 19 – r.  Для каждого r от 0 до 10 получаем 10 решений.

Ответ

110 решений.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	14
Название	Разные задачи
Тема	Неопределено
задача
Номер	27