Задача 32026

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Точка M внутри выпуклого четырехугольника ABCD такова, что площади треугольников ABM, BCM, CDM и DAM равны. Верно ли, что ABCD — параллелограмм, а точка M — точка пересечения его диагоналей?

Решение

Это утверждение неверно. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC, у которого и симметричный ему треугольник ADC относительно прямой AC. Середину общей стороны AC этих треугольников обозначим M. Из того, что медиана делит треугольник на две равновеликие части следует, что четырехугольник ABCD и точка M будут искомыми.

Замечания

Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	05
Дата	1982
задача
Номер	07