Задача 32030

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984! ?

Решение

Среди чисел от 1 до 1984 есть 992 чётных. Каждое из них дает по крайней мере одну двойку в разложение на простые множители числа 1984!. Две двойки в это разложение дадут числа, делящиеся на 4 (их всего 496). Далее, по 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 двоек соответственно дадут 248, 124, 62, 31, 15, 7, 3 и 1 число, делящиеся на 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и 1024 соответственно. Сложив результаты, мы и получим искомое количество двоек:
992 + 496 + 248 + 124 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 1979.

Ответ

1979 двоек.

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	06
Дата	1983
задача
Номер	03