Условие
Каждый из четырех гномов — Беня, Веня, Женя,
Сеня — либо всегда говорит правду, либо всегда врет. Мы услышали
такой разговор: Беня — Вене: "ты врун"; Женя — Бене: "сам ты
врун"; Сеня — Жене: "да оба они вруны, — (подумав), —
впрочем, ты тоже". Кто из них говорит правду?
Решение
Предположим, Сеня говорит правду. Тогда, согласно его словам, три
остальных гнома — вруны. И, тем самым, фраза Бени является
правдой. Значит, предположение приводит к противоречию, поэтому
Сеня — врун, и его утверждение, что Женя — врун,
является ложным. Отсюда заключаем, что Женя говорит правду. Тем
самым, Беня — врун, а Веня говорит правду. Отметим, что фраза
Сени "да оба они вруны" (относительно Бени и Вени) является
ложной (несмотря на то, что Беня действительно врун), поскольку
Веня — не врун.
Замечания
Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова.
Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".
Источники и прецеденты использования
