Задача 32071

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆ – последовательные стороны шестиугольника, все углы которого равны. Докажите, что  a₁ – a₄ = a₃ – a₆ = a₅ – a₂.

Решение

Продолжим стороны данного шестиугольника ABCDEF до пересечения друг с другом. Шестиугольник оказался представленным в виде пересечения двух равносторонних треугольников KMO и LNP (см. рис.) со сторонами b и c соответственно. Объединение этих треугольников представляет собой шестиконечную звезду, лучи которой ABK, BCL, CDM, DEN, EFO и FAP являются равносторонними треугольниками. Следовательно,
b – c = KM – LN = (KB + BC + CM) – (LC + CD + DN) = KB + (BC – LC) + (CM – CD) – DN = a₁ + 0 + 0 – a₄ = a₁ – a₄.

  Аналогично,  b – c = a₃ – a₆  и b – c = a₅ – a₂,  откуда следует требуемое равенство.

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	09
Дата	1986
задача
Номер	13