|
|
 |
Условие
"Крокодилом" называется фигура, ход которой заключается в прыжке на клетку, в которую можно попасть сдвигом на одну клетку по вертикали или горизонтали, а затем на N клеток в перпендикулярном направлении (при N = 2 "крокодил" – это шахматный конь).
При каких N "крокодил" может пройти с каждой клетки бесконечной шахматной доски на любую другую?
Решение
Будем считать, что рассматриваемая бесконечная шахматная доска,
как и обычная, раскрашена в белый и чёрный цвета в шахматном порядке. Тогда при нечётном N "крокодил" будет ходить только по клеткам одного цвета, и, тем самым не может пройти на любую клетку.
Докажем, что при чётном N "крокодил" может пройти с
каждой клетки на любую. Достаточно доказать, что он может пройти с любой клетки на соседнюю (смежную по стороне). Покажем, например, как пройти из клетки в соседнюю с ней сверху. Первым ходом ходим на одну клетку вправо и N клеток вверх, а вторым – на одну вправо и N вниз. Так мы окажемся на две клетки правее исходной. Повторив эту пару ходов N/2 раз, мы окажемся на N клеток правее исходной. Теперь пойдем на одну клетку вверх и N влево.
Замечания
Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
