Задача 32076

Темы:    [ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Неравенства с площадями ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

a, b, c, d – стороны четырёхугольника (в любом порядке), S – его площадь. Докажите, что  S ≤ ½ (ab + cd).

Решение

  Заметим, что достаточно ограничиться рассмотрением случая выпуклого четырёхугольника. Действительно, для любого невыпуклого четырёхугольника мы можем построить выпуклый с теми же длинами сторон, но большей площади, отразив две его стороны относительно диагонали, лежащей снаружи (рис. слева). Рассмотрим два случая.
  1) Стороны a и b смежны. Разобьём четырёхугольник диагональю на два треугольника со сторонами a, b, l и c, d, l (рис. в центре). Площадь первого не превосходит ^ab/₂, второго – ^cd/₂. Сложив, получим требуемое неравенство.

  2) Стороны a и b не смежны. Разобьём снова данный четырёхугольник на два треугольника диагональю. Треугольник, имеющий стороны a и d оставим на месте, а имеющий стороны b и c отразим относительно серединного перпендикуляра к проведенной диагонали (рис. справа). Получим четырёхугольник с теми же сторонами и той же площади, но стороны a и b уже смежны. А для такого четырёхугольника неравенство уже доказано.

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	09
Дата	1986
задача
Номер	18