|
|
 |
Условие
На плоскости нарисовано некоторое количество равносторонних треугольников. Они не пересекаются, но могут иметь общие участки сторон. Мы хотим покрасить каждый треугольник в какой-нибудь цвет так, чтобы те из них, которые соприкасаются, были покрашены в разные цвета (треугольники, имеющие одну общую точку, могут быть покрашены в один цвет). Хватит ли для такой раскраски двух цветов?
Решение
Будем называть два треугольника параллельными, если какая-то сторона одного из них параллельна какой-то стороне другого. Ясно, что тогда и каждая сторона одного из них параллельна некоторой стороне другого. Поэтому параллельность на множестве равносторонних треугольников на плоскости является отношением эквивалентности.
Поскольку каждый треугольник может иметь общий участок стороны только с параллельным ему треугольником, то раскраску можно производить для каждого "класса параллельности" независимо. Покажем, как покрасить в два цвета, удовлетворяя условиям задачи, треугольники одного "класса параллельности". Введём для этого на "классе параллельности" понятие ориентации: два треугольника на рис. слева одинаково ориентированны, а два треугольника на рис. справа – противоположно ориентированны.
Ответ
Хватит.
