|
|
 |
Условие
Восстановите а) треугольник; б) пятиугольник по серединам его сторон.
Решение
а) Пусть $ABC$ – искомый треугольник, $A'$, $B'$, $C'$ – данные середины его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно (рис. слева). Тогда $AB \parallel A'B'$, $BC \parallel B'C'$, $AC \parallel A'C'$.
Через точку $A'$ проведём прямую $a \parallel B'C'$, через точку $B'$ – прямую $b \parallel A'C'$, через точку $C'$ – прямую $c \parallel A'B'$. Треугольник $ABC$, ограниченный прямыми $a$, $b$ и $c$, будет искомым.
Действительно $AC'A'B'$ и $BC'B'A'$ – параллелограммы. Поэтому $AC' = B'A' = C'B$, то есть $C'$ – середина стороны $AB$. Аналогично $B'$ – середина $AC$, а $A'$ – середина $BC$.
Задача имеет единственное решение во всех случаях, когда данные три точки не лежат на одной прямой.
б) Первое решение. Пусть $ABCDE$ – искомый пятиугольник, $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ и $E'$ – данные середины его сторон $CD$, $DE$ и $EA$, $AB$ и $BC$ соответственно (рис. справа). По свойству средней линии треугольника
Отсюда вытекает следующий способ построения. Выбираем произвольную точку $A_1$. Находим точки $C_1$, $E_1$, $B_1$ и $D_1$, откладывая последовательно векторы Искомый пятиугольник $ABCDE$ получается из пятиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1$ параллельным переносом. Вектор переноса можно взять с началом в середине стороны $A_1B_1$ и концом в точке $D$.
Задача имеет единственное решение, если полученные точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ и $E_1$ являются последовательными вершинами пятиугольника (другими словами, замкнутая ломаная $A_1B_1C_1D_1E_1A_1$ не самопересекающаяся).
Второе решение. Пусть $ABCDE$ – искомый пятиугольник, $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ и $E'$ – данные середины его сторон $CD$, $DE$ и $EA$, $AB$ и $BC$ соответственно. Пусть $F$ – середина диагонали $CE$. Тогда $C'D'E'F$ – параллелограмм Вариньона четырёхугольника $ABCE$, и $FE=FC = A'B'$, поскольку $A'B'$ – средняя линия треугольника $CDE$. Отсюда вытекает следующий способ построения: построить параллелограмм $C'D'E'F$, затем через точку $F$ провести прямую, параллельную $A'B'$, и отложить на этой прямой от точки $F$ в обе стороны отрезки, равные $A'B'$. Так мы получим вершины пятиугольника $C$ и $E$; вершины $A$, $B$ и $D$ теперь можно построить удвоением отрезков $EC'$, $CE'$ и $CA'$ соответственно.
Замечания
Источник решения п. а) и первого решения п. б): книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
