ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32124
Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Правильный тетраэдр ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В булке за 10 копеек оказался запечен изюм двух сортов. Докажите, что внутри булки найдутся две такие точки, удаленные на расстояние 1 см, что они либо не принадлежат никаким из изюмин, либо принадлежат изюминам одного сорта.

Решение

Рассмотрим правильный тетраэдр с ребром 1 см, расположенный целиком внутри булки. Для каждой из его вершин существует одна из трех возможностей — либо находиться внутри изюмины одного из двух сортов, либо не принадлежать никакой изюмине. Поскольку всего вершин четыре, а возможностей — три, то для каких-то двух вершин выполнена одна и та же возможность. Эти две вершины и будут искомыми точками.

Замечания

Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 13
Дата 1990
задача
Номер 08

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .