Задача 32129

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Через центр окружности  ω ₁ проведена окружность  ω ₂; A и B — точки пересечения окружностей. Касательная к окружности  ω ₂ в точке B пересекает окружность  ω ₁ в точке C. Докажите, что AB = BC.

Решение

Пусть O — центр окружности  ω ₁ (см. рис.). Тогда в силу симметрии дуги AO и OB окружности  ω ₂ равны. Кроме того, угол OBC равен половине дуги OB, как угол между касательной и хордой, а угол OBA равен половине дуги OA, как вписанный. Поэтому углы OBC и OBA равны, и прямые BC и BA симметричны относительно радиуса OB окружности  ω ₁. Значит, при этой симметрии их точки A и C пересечения с окружностью  ω ₁ переходят друг в друга. Отсюда следует, что AB = BC.

Замечания

Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	14
Дата	1991
задача
Номер	05