Условие
Через центр окружности ω
1 проведена окружность ω
2;
A и B — точки пересечения окружностей. Касательная к
окружности ω
2 в точке B пересекает окружность ω
1
в точке C. Докажите, что AB = BC.
Решение
Пусть O — центр окружности ω
1 (см. рис.).
Тогда в силу симметрии дуги AO и OB окружности ω
2
равны. Кроме того, угол OBC равен половине дуги OB, как угол
между касательной и хордой, а угол OBA равен половине дуги OA,
как вписанный. Поэтому углы OBC и OBA равны, и
прямые BC и BA симметричны относительно радиуса OB
окружности ω
1. Значит, при этой симметрии их точки A и
C пересечения с окружностью ω
1 переходят друг в друга.
Отсюда следует, что AB = BC.
Замечания
Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова.
Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".
Источники и прецеденты использования
