Задача 32778

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

Дано число 1·2·3·4·5·...·56·57.
  а) Какая последняя цифра этого числа?
  б) Каковы десять последних цифр этого числа?

Решение

а) Среди множителей есть число 10. Значит, все произведение делится на 10, следовательно, кончается на 0.

б) В данном произведении есть по крайней мере 10 множителей, делящихся на 5: например, 5, 10, 15, ..., 50. Значит, само число делится на 5¹⁰. Кроме того, в произведении есть множители 2, 4, 8 и 16, значит, оно делится на их произведение, равное 2¹⁰. Следовательно, данное число делится на
2¹⁰·5¹⁰ = 10¹⁰,  а значит, последние 10 цифр произведения – нули.

Ответ

а) 0;   б) 10 нулей.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Год	2001/02
Место проведения	57 школа
занятие
Номер	1
Название	Простые вводные задачи
Тема	Неопределено
задача
Номер	02