Задача 32828

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Условие

Теннисист для тренировки играет каждый день хотя бы одну партию; при этом, чтобы не перетрудиться, он играет не более 12 партий в неделю.
Докажите, что можно найти несколько таких подряд идущих дней, в течение которых теннисист сыграл ровно двадцать партий.

Решение 1

  Рассмотрим десять подряд идущих недель. Пусть за первые k дней (из этих 70) теннисист сыграл b_k партий. Рассмотрим числа  b₀ = 0,  b₁, ..., b₇₀,
b₀ + 20,..., b₇₀ + 20.  Всего 142 числа, каждое из которых не превосходит  10·12 + 20 = 140.  Поэтому среди них есть два равных.
  Пусть  b_i + 20 = b_j  (среди чисел b_k, очевидно, нет равных), то есть  b_j – b_i = 20.  Это значит, что за дни с (i+1)-го по j-й теннисист сыграл ровно 20 партий.

Решение 2

  Рассмотрим три подряд идущие недели и количества партий, которые играл теннисист в эти 21 день (всего 21 число). Согласно решению задачи 103964 найдутся несколько подряд идущих чисел, сумма которых делится на 20. Но за три недели теннисист не мог сыграть более 36 партий. Поэтому "сумма, которая делится на 20" должна равняться 20 (нулю она равняться не может, и 40 тоже). Это и значит, что в соответствующие (последовательные) дни он сыграл ровно 20 партий.

Замечания

Решение 2 требует гораздо меньшего промежутка времени, в течение которого теннисист соблюдает условия задачи.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Год	2001/02
Место проведения	57 школа
занятие
Номер	9
Название	Турниры
Тема	Турниры и турнирные таблицы
задача
Номер	06
Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Место проведения	57 школа
Год	2005/06
занятие
Тема	Турниры и турнирные таблицы
Название	Турниры
Номер	12
задача
Номер	6