ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32839
Тема:    [ Задачи на движение ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из посёлка Морозки ведет прямая дорога, в стороне от неё, на поле, расположена водокачка. Путнику нужно попасть из Морозок к водокачке. По дороге путник идет со скоростью 4 км/ч, а по полю – 3 км/ч. Как ему следует выбрать маршрут, чтобы дойти быстрее всего?


Решение

  Посмотрим, куда путник сможет дойти за час, выйдя из точки M (Морозки). Если он пойдёт по полю, то через час окажется в пределах круга радиуса 3 (км) с центром M. Если он пойдёт по дороге, то окажется в какой-то точке отрезка KL длины 8 с серединой в M (мы считаем, что дорога горизонтальна). Докажем, что за час он не сможет выйти за пределы фигуры F, ограниченной указанной окружностью и касательными, проведёнными к ней из точек K и L (рис. слева). Действительно, если он дойдёт по дороге до точки P, затратив время  1 – t,  а потом свернёт в поле, то через час окажется в пределах круга радиуса 3t с центром в точке P. Так как  PK = 4t,  то в силу подобия этот круг касается границы фигуры F. Это значит, что он будет находиться внутри (или на границе) F. С другой стороны, ясно, что за час можно попасть в любую точку границы F, подобрав подходящую точку поворота P.
  Если путник будет идти не час, а другое время T, то он может оказаться на границе фигуры, гомотетичной F с центром M и коэффициентом T. Таким образом, следует найти минимальную такую фигуру, на границе которой находится точка B (водокачка).

  Это делается следующим образом. Будем считать, что B находится правее и выше точки M. Построим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, вершинами A и C на дороге и отношением  AB : AC = 3 : 4  (A левее C). Если M находится левее A, то путнику надо идти по дороге до точки A, а потом по отрезку AB. Если же M находится на отрезке AC, то надо сразу идти по отрезку MB.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название ВМШ 57 школы
класс
Класс 7
год
Год 2001/02
Место проведения 57 школа
занятие
Номер 11
Название Путешествия
Тема Неопределено
задача
Номер 04
Кружок
Название ВМШ 57 школы
класс
Класс 7
год
Место проведения 57 школа
Год 2005/06
занятие
Название Путешествия
Номер 14
Тема Задачи на движение
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .