Задача 32861

Темы:    [ Степень вершины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 7

Условие

Страна называется пятёрочной, если в ней каждый город соединён авиалиниями ровно с пятью другими городами (международных рейсов нет).
  а) Нарисуйте схему авиалиний для пятёрочной страны из 10 городов.
  б) Сколько авиалиний в пятёрочной стране из 50 городов?
  в) Может ли существовать пятёрочная страна, в которой ровно 46 авиалиний?

Решение

а) В правильном десятиугольнике проведём все стороны, все малые диагонали (соединяющие вершины через одну) и все большие диагонали (соединяющие противоположные вершины).

б)  50·5 : 2 = 125.

в) Если в стране n городов, то  46 = ⁵ⁿ/₂.  Но 46 не делится на 5.

Ответ

б) 125 авиалиний;  в) не может.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Год	1999/00
Место проведения	57 школа
занятие
Номер	4
Название	Графы
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	04