Задача 32886

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Блинков Ю.А.

Треугольник ABC равнобедренный  (AB = BC).  Точка M – середина стороны AB, точка P – середина отрезка CM, точка N делит сторону BC в отношении  3 : 1  (считая от вершины B). Докажите, что  AP = MN.

Решение

Пусть M' – середина стороны BC, точка N' делит сторону AB в отношении  3 : 1,  считая от вершины B (см. рисунок). Ясно, что  MN = M'N'.

Отрезки PM' и AN' равны и параллельны: отрезок M'P является средней линией треугольника CBM, поэтому он параллелен отрезку BM и равен его половине – то есть отрезку AN'. Следовательно,APM'N' – параллелограмм, и  AP = M'N' = MN.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2013
Номер	76
класс
Класс	8
задача
Номер	2