ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32891
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Итерации ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На круглом столе через равные промежутки лежат пирожные. Игорь ходит вокруг стола и съедает каждое третье встреченное пирожное (каждое пирожное может быть встречено несколько раз). Когда на столе не осталось пирожных, он заметил, что последним взял пирожное, которое встретил первым, и прошёл ровно семь кругов вокруг стола. Сколько было пирожных?


Решение

  Так как Игорь прошёл целое число кругов, то он встретил первое пирожное в момент подхода к столу. Кроме того, последовательность поедания пирожных не изменится, если убрать требование о "равных промежутках".

  Если бы пирожных было четыре, Игорь прошёл бы ровно пять кругов (см. рисунок).
  Пусть число пирожных на столе делится на три. Тогда за первый круг Игорь съедает каждое третье пирожное и возвращается в исходное положение. Таким образом, после одного круга пирожных становится 2/3 от того количества, что было на столе. Значит, если бы пирожных было шесть, Игорь прошёл бы ровно шесть кругов, и если бы пирожных было девять, Игорь прошёл бы ровно семь кругов.
  Если пирожных больше девяти, то Игорь пройдёт какое-то расстояние до того, как пирожных останется ровно девять, дойдёт до ближайшего пирожного и после этого сделает ровно семь кругов. Значит, всего он прошёл больше семи кругов.
  Если же пирожных меньше девяти, a кругов тоже семь, то, как выше, докажем, что для девяти пирожных число кругов больше семи. Противоречие.


Ответ

9.

Замечания

Можно решать задачу и с конца. Пусть A – последнее съеденное пирожное, а B – предпоследнее. От места съедания B до конца Игорь пройдёт два полных круга плюс дугу BA. Если C – предыдущее съеденное пирожное, то оно должна располагаться между A и B (по направлению обхода), и между "поеданиями" C и B Игорь пройдёт полный круг плюс дугу CB, что вместе с уже учтённым расстоянием составит три круга плюс дугу CA. И так далее, пока не наберётся семь кругов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2013
Номер 76
класс
Класс 9
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .