ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32892
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC, где угол B прямой, а угол A меньше угла C, проведена медиана BM. На стороне AC взята точка L так, что  ∠ABM = ∠MBL.  Описанная окружность треугольника BML пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что  AN = BL.


Решение

  Так как BM – медиана в прямоугольном треугольнике, то треугольник AMB равнобедренный, поэтому  ∠MAN = ∠ABM = ∠MBL
(см. рис.).

  Далее можно рассуждать по разному.

  Первый способ. Из вписанности четырёхугольника BLMM следует, что  ∠MNA = ∠MLB.  Таким образом, треугольники AMN и BML равны по двум углам и стороне. Значит,  AN = BL.

  Второй способ. Углы NBM и NLM опираются на одну дугу, поэтому  ∠NLM = ∠NBM = ∠NAL.  Значит, треугольник ANL равнобедренный,  AN = LN,  а  ∠BNL = 2∠BAM = 2∠NBM = ∠NBL.  Поэтому треугольник NLB равнобедренный, то есть BL = NL = AN.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2013
Номер 76
класс
Класс 9
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .