Задача 34853

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Условие

На доске записано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и записать вместо них одну цифру, отличную от стёртых. Докажите, что если в результате нескольких таких операций на доске останется одна-единственная цифра, то она не зависит от порядка, в котором производились стирания.

Подсказка

Как меняется чётность числа нулей, единиц, двоек?

Решение

Пусть вначале было A нулей, B единиц и C двоек. После каждой операции эти числа меняются, но чётность сумм  A + B,  A + C  и  B + C  не меняется. Значит, если числа A и B одной чётности, то в конце их сумма равна нулю, то есть на доске может остаться только двойка. (Если все три числа одной чётности, то одна цифра на доске остаться не может.)

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача