Задача 34872

Тема:    [ Непрерывные функции (общие свойства) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

О функции  f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом  a > 1  функция  f(x) + f(ax)  непрерывна на всей прямой.
Докажите, что  f(x) также непрерывна на всей прямой.

Решение

По условию функции  f(x) + f(4x)  и  f(x) + f(2x)  непрерывны. Вместе с функцией  f(x) + f(2x)  непрерывна функция f(2x) + f(4x).  Поэтому непрерывна и функция  (f(x) + f(2x)) + (f(x) + f(4x)) – (f(2x) + f(4x)) = 2f(x),  а значит, и функция  f(x).

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача