Условие
а) Каждую сторону четырёхугольника
в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину.
Оказалось, что концы построенных отрезков служат вершинами
квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник -
квадрат.
б) Докажите, что если в результате той же процедуры из
n-угольника получится правильный n-угольник, то и исходный
n-угольник - правильный.
Подсказка
Можно использовать массы.
Решение
Будем решать сразу задачу б).
Очевидно, из правильного
многоугольника A
1A
2...A
n
после продолжения сторон
получится правильный многоугольник
B
1B
2...B
n . Поскольку
все правильные n-угольники подобны, то любой из них можно
получить такой процедурой из некоторого правильного
n-угольника. Осталось доказать, что по многоугольнику
B
1B
2...B
n
многоугольник A
1A
2...A
n
определяется однозначно.
Пусть многоугольник B
1B
2...B
n
получен указанным способом из многоугольника
A
1A
2...A
n, и при
этом точка A
2 - середина отрезка
A
1B
1,
точка
A
3 - середина отрезка A
2B
2,
точка
A
1 - середина отрезка A
nB
n.
Докажем, что описанным в задаче способом ни из какого другого
многоугольника, кроме A
1A
2...A
n,
многоугольник B
1B
2...B
n
не мог получиться. Поместим в вершины B
1,
B
2,..., B
n грузики массами
1,2,...,2
n и покажем,
что точка A
1 - центр масс этой системы.
Для этого поместим
ещё в точку A
1 грузик массы 1. Теперь центр масс точек
A
1 и B
1 находится в точке A
2.
Поэтому можно убрать массы из
точек A
1 и B
1, поместив массу 2 в точку
A
2.
Аналогично,
уберем массы из точек A
2 и B
2, поместив массу 4
в их
центр масс - точку A
3. В конце концов, центр масс окажется
в точке A
1. Значит, и центр масс исходной системы
находится
там же.
Поскольку центр масс определяется по системе масс
однозначно, точка A
1 определена однозначно.
Следовательно,
и
весь многоугольник
A
1A
2...A
n определен
многоугольником B
1B
2...B
n.
Источники и прецеденты использования
