Условие
На плоскости дан невыпуклый n-угольник
с попарно непараллельными сторонами. Пусть A и B - две несоседние
вершины n-угольника,
разделяющие его контур на две ломаные AXY...B и BZT...A.
Разрешается отразить одну из этих ломаных относительно середины
отрезка AB.
При этом получится новый многоугольник (а если не получится, то такая операция не разрешена).
Докажите, что с помощью таких действий можно получить выпуклый многоугольник.
Подсказка
При данной операции площадь увеличивается.
Решение
Набор из n векторов, соответствующих сторонам n-угольника,
после выполнения данной операции остается неизменным, изменяется
лишь порядок следования этих векторов.
Поэтому в результате проведения операций мы будем получать только
многоугольники из конечного числа n-угольников
(их не более (n-1)!=(n-1)*(n-2)...*2*1), в которых
векторы, соответствующие сторонам, образуют фиксированный набор.
Если многоугольник невыпуклый, то
найдется прямая,
проходящая через две его несоседние вершины,
относительно которой n-угольник расположен целиком по одну сторону.
Произведем указанную операцию относительно этих двух вершин.
Если получен невыпуклый многоугольник, то опять проведем такую же операцию, и так далее.
Заметим, что при каждой операции площадь n-угольника увеличивается.
Так как может получаться лишь конечное число различных многоугольников, то когда-нибудь
мы придем к многоугольнику, для которого
выполнение указанной операции невозможно.
Этот многоугольник обязан быть выпуклым
Источники и прецеденты использования
