ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 34889
УсловиеНа плоскости дан невыпуклый n-угольник
с попарно непараллельными сторонами. Пусть A и B - две несоседние
вершины n-угольника,
разделяющие его контур на две ломаные AXY...B и BZT...A.
Разрешается отразить одну из этих ломаных относительно середины
отрезка AB.
При этом получится новый многоугольник (а если не получится, то такая операция не разрешена).
Докажите, что с помощью таких действий можно получить выпуклый многоугольник.
ПодсказкаПри данной операции площадь увеличивается.
РешениеНабор из n векторов, соответствующих сторонам n-угольника, после выполнения данной операции остается неизменным, изменяется лишь порядок следования этих векторов. Поэтому в результате проведения операций мы будем получать только многоугольники из конечного числа n-угольников (их не более (n-1)!=(n-1)*(n-2)...*2*1), в которых векторы, соответствующие сторонам, образуют фиксированный набор. Если многоугольник невыпуклый, то найдется прямая, проходящая через две его несоседние вершины, относительно которой n-угольник расположен целиком по одну сторону. Произведем указанную операцию относительно этих двух вершин. Если получен невыпуклый многоугольник, то опять проведем такую же операцию, и так далее. Заметим, что при каждой операции площадь n-угольника увеличивается. Так как может получаться лишь конечное число различных многоугольников, то когда-нибудь мы придем к многоугольнику, для которого выполнение указанной операции невозможно. Этот многоугольник обязан быть выпуклым Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке