Задача 34900

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Многоугольники (неравенства) ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Каждая из сторон выпуклого шестиугольника имеет длину больше 1. Всегда ли в нем найдется диагональ длины больше 2?

Подсказка

Постройте треугольники на сторонах правильного треугольника со стороной 2 во внешнюю сторону.

Решение

Возьмем правильный треугольник со стороной 2. Из середин его сторон восставим во внешнюю сторону перпендикуляры, отложим на них отрезки очень малой длины (скажем, длины 0,01) и соединим полученные точки с вершинами треугольника. Легко видеть, что стороны так построенного выпуклого шестиугольника больше 1, но все его диагонали не больше 2.

Ответ

не всегда.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача