Задача 34902

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Обыкновенные дроби ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что сумма всех чисел вида ¹/_mn, где m и n – натуральные числа,  1 < m < n < 1986,  не является целым числом.

Подсказка

Среди чисел m и n найдите числа, делящиеся на максимально возможную степень тройки.

Решение

Среди чисел от 1 до 1986 имеются ровно два –  729 = 3⁶  и  1458 = 2·3⁶,  – делящиеся на 3⁶; наибольшая степень 3, на которые могут делиться остальные числа – 3⁵. Таким образом, всевозможные произведения mn  (1 < m < n <1986),  за исключением  729·1458 = 2·3¹²,  содержат множителем число 3 самое большее в степени 11. Приведя сумму всех дробей ¹/_mn, кроме  ¹/_729·1458,  к общему знаменателю, мы получим дробь вида     где a и b – натуральные числа, причём b не делится на 3. Пусть s – сумма, рассматриваемая в задаче, тогда     или  2·3¹²sb – 6a = b.  При целом s левая часть кратна 3, а правая – нет. Поэтому s не может быть целым.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача