|
|
 |
Условие
Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.
Подсказка
Рассуждайте, используя индукцию по количеству прямых.
Решение
Будем использовать индукцию по количеству прямых n. При n = 1 утверждение задачи очевидно: достаточно покрасить две полуплоскости, на которые одна прямая делит плоскость, в разные цвета. Пусть утверждение задачи верно для k прямых. Рассмотрим некоторые k + 1 прямых. "Забывая" пока про (k+1)-ю прямую, раскрасим области, на которые делят плоскость остальные k прямых, в два цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет (это можно сделать по предположению индукции). При такой раскраске области, граничащие по (k+1)-й прямой, будут иметь одинаковый цвет. Далее перекрасим все области, расположенные по одну из сторон относительно (k+1)-й прямой, в противоположный цвет. Полученная в результате раскраска удовлетворяет условию задачи.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 1 |
| Название | Метод математической индукции |
| Тема | Индукция |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Индукция в геометрии и комбинаторике |
| Тема | Индукция (прочее) |
| задача | |
| Номер | 01.054 |
| web-сайт | |
| задача | |
