Задача 34939

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Квадратные уравнения. Формула корней ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Дан приведенный квадратный трёхчлен  f(x) = x² + bx + c,  имеющий два различных корня. Обозначим за D его дискриминант  (D = b² – 4c).  Сколько корней имеет уравнение  

Подсказка

Как связаны между собой графики функций f(x) и  

Решение

Пусть     x₁, x₂  (x₁ < x₂)  – корни уравнения  f(x) = 0.  Из формулы корней видно, что  x₂ = x₁ + d.  График функции  f(x – d) получается из графика функции f(x) сдвигом на d вправо вдоль оси Ox. Поэтому во-первых, x₂ является корнем уравнения  f(x – d) = 0  (и следовательно, корнем уравнения
f(x) + f(x – d) = 0),  а во-вторых, графики функций f(x) и  f(x – d)  симметричны относительно вертикальной прямой  x = x₂),  и, значит, график функции
f(x) + f(x – d)  также симметричен относительно этой прямой. Получаем, что квадратный трёхчлен  f(x) + f(x – d)  имеет нечётное число корней (одним из корней является x₂, а остальные разбиваются на пары симметричных относительно x₂). Так как квадратное уравнение имеет не более двух корней, то есть единственная возможность – уравнение  f(x) + f(x – d) = 0  имеет в точности один корень.

Ответ

Один корень.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача