ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34940
Тема:    [ Малые шевеления ]
Сложность: 3-
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что на координатной плоскости можно провести окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.


Подсказка

Проведите маленькую окружность и раздувайте её.


Решение

  Можно выбрать такую точку A плоскости, что на любой окружности с центром A лежит не более одной целой точки. Для этого достаточно, чтобы все расстояния от A до целых точек были различными. Заметим, что серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему целые точки, имеет рациональный угловой коэффициент. Кроме того, он проходит через середину этого отрезка – точку с рациональными координатами – и поэтому задаётся уравнением с рациональными коэффициентами. Если в качестве точки A взять точку с рациональной абсциссой и иррациональной ординатой, она не будет лежать ни на одном из этих серединных перпендикуляров.
  Выпишем радиусы окружностей с центром A, проходящих через целочисленные точки, в порядке возрастания:  R1 < R2 < R3 < ...  Если  Rn < R < Rn+1,  то внутри окружности радиуса R будет содержаться ровно n целочисленных точек.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .