Задача 34947

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Докажите, что уравнение  x² + y³ = z⁵  имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Подсказка

Можно подобрать такие решения, что x, y, z – некоторые степени двойки.

Решение

Будем искать решение в виде  x = 2^k,  y = 2^m,  z = 2ⁿ.  Уравнение принимает вид  2^2k + 2^3m = 2⁵ⁿ.  Положим  k = 3s,  m = 2s.  Тогда  2^6s + 2^6s = 2⁵ⁿ,  или
2^6s+1 = 2⁵ⁿ.  Осталось подобрать значения s и n так, что  6s + 1 = 5n.  Для этого можно приравнять оба числа  6s + 1,  5n к числу  30t + 25  (числа вида
30t + 25  делятся на 5 и дают остаток 1 при делении на 6). Тогда  s = 5t + 4,  n = 6t + 5.  Итак, нами получена бесконечная серия решений данного уравнения:
x = 2^15t+12,  y = 2^10t+8,  z = 2^6t+5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача