Условие
Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, содержащая
центр окружности, описанной около противоположной грани, и
перпендикулярная противоположной грани. Докажите, что эти 4
плоскости пересекаются в одной точке.
Подсказка
Любая плоскость, содержащая
центр окружности, описанной около противоположной грани, и
перпендикулярная противоположной грани, содержит центр описанной
вокруг тетраэдра сферы.
Решение
Заметим, что центр описанной вокруг тетраэдра сферы
при проекции на грань переходит в центр окружности,
описанной
около грани (поскольку и центр описанной вокруг
тетраэдра сферы, и
центр окружности, описанной около грани,
равноудалены от трех вершин этой грани).
Поэтому указанные в условии 4 плоскости проходят через
центр описанной сферы данного тетраэдра.
Источники и прецеденты использования
